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用語集

• 可解構造を持つ物理模型を対象とした数理物理を考えるにあたって，個人的に重要だと思っている概念の説明．
• きちんと理解せずに書いてあることも多いと思う．あくまで自分なりの理解．
• 個人的に重要だと思っているだけで，別に重要ではないかもしれない．

【あ行】

【か行】

• 解析力学
• 可解（系）
• 可積分（系）
• 完全可解（系）
• 既約表現
• 球関数
• 球面調和関数 球面上の Laplace-Beltrami 作用素の固有関数．
• 共形変換
• 偶然縮退
• 経路積分

【さ行】

• 再生核
• 縮退 固有値問題があるときにある固有値に属する固有空間の次元が２以上の時，縮退があるという．Schrödinger 方程式の場合は，同じエネルギーを持つ状態が複数あることに対応する．縮退の存在は系が持つ何らかの対称性が示唆される．
• 水素原子 電荷 +e の原子核１つと電荷 -e の電子１つ原子核からなる原子である．原子核は陽子１つと０個以上の中性子からなるが，地球上で最も多く存在する水素原子は原子核がただ１つの陽子から構成される軽水素原子である．
• 数理物理 数学と物理の間に存在する学術分野．物理モデルの解析解を考えたり，数理構造を解明したりする．数値計算による取り組みも数理物理に分類されることがあり得る．物理モデルをきっかけに数学の理論構築（定理や公式の作ることも含む）をしたりする．
• 数理物理と理論物理は違うのか？ 理論物理学者が数理物理をする物理学者を含む関係にはありそう．理論物理学者の中でも色々な数学を取り入れたいという傾向が見られる人が数理物理学者であることが多そう．自己申告で決めるしかないと思う．
• 数理物理は数学か物理か？ 数学者として数理物理を研究する者もいれば，物理学者として数理物理を研究する者もいる．数学者にとっては数学であり，物理学者にとっては物理であると考えられる．目的が違うにせよ，両者の研究は互いに影響を及ぼし合うことがしばしばである．
• スペクトル
• ソリトン

【た行】

• 帯球関数
• 対称空間
• 対称性 系に対して何らかの操作をでき，その操作が非自明な群（位数が２以上くらいの意味）をなすとき，群で記述される対称性があるという．
• 楕円関数 複素数を変数とする有理型（特異点が高々極）となる二重周期関数。トーラス上の有理型関数とみなすことも可能である．
• 直交多項式 ある区間で定義された体 K 上の多項式（多変数もあり得る．連続変数も離散変数もあり得る）たちがK上内積空間を構成する時，その直交基底をはるものたち．Schroedinger 方程式の解は直交多項式を用いて表示することが多い，もしくは必要になる．
• 超可積分（系）
• 超幾何関数
• 超対称性
• 超対称代数
• 調和解析 Lie群やその等質空間や対称空間上で定義される性質の良い関数を直交関数展開すること．
• 直交群 実線形空間 Rⁿ においてベクトルのノルムを保存する線形変換がなす群．球面調和関数や水素原子の波動関数を考える際には直交群に対する表現論が役に立つ．
• ツイスター空間
• 等質空間
• 特殊関数

【な行】

【は行】

• 半単純
• 表現
• べき零
• 変数分離

【ま行】

【や行】

【ら行】

• 力学的対称性 Schrödinger方程式やHamilton-Jacobi方程式の文脈での力学的対称性について述べる．方程式の変換作用素のうちエネルギーを不変にするもの群をなしそれが非自明なとき，方程式に力学的対称性があるという．非相対論的水素原子のSchrödinger方程式やKepler問題におけるHamilton-Jacobi方程式は元の空間が持つ対称性とはかけ離れた力学的対称性を持つ例である．元の空間が持つ対称性とはかけ離れた力学的対称性の存在は，空間的な知見から来る直感とは異なる物理現象を引き起こすことがある．
• 力学的群 力学的対称性に付随する群は，Schrödinger方程式やHamilton-Jacobi方程式が持つ代数構造の一つに他ならない．エネルギーを不変にする変換作用素とエネルギーを不変にしないような変換作用素を合わせた群が力学的に意味を持つとき，これを力学的群（Dynamical Group）と呼ぶ．

【わ行】

【英数字】

• Bertrandの定理
• Cartan 部分代数 実及び複素半単純 Lie 代数 g における Cartan 部分代数 h とは，gの極大な部分リー代数であって，全ての H∈h に対して ad(H) が半単純線形変換（複素の場合は対角化可能の意味．実の場合は複素化したときに対角化可能の意味）であるものをいう．
• Casimir演算子，Casimir作用素
• Green function（グリーン関数）
• Kustaanheimo-Stiefel変換
• Hamiltonian
• Hamilton-Jacobi方程式
• Hopf fibration
• Laplacian（Laplace作用素）
• Laplace-Beltrami作用素
• Laplace-Runge-Lenzベクトル
• Lie group（リー群）
• Lie algebra（リー代数，リー環）
• Schrödinger equation（シュレディンガー方程式）

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